캐드.CAD/CAM작업 - 곡선과 곡면(curve and surface)

★ 곡선과 곡면(curve and surface) ★

 

1. 원추 곡선(Conic section curve)

ㄱ. 원(circle) : 원추를 일정한 높이 Z에서 절단하여 생기는 곡선

x² + r² - r² = 0

ㄴ. 타원(ellipes) : 원추를 비스듬하게 절단하여 생기는 곡선

x²/a² + r² / b² = 0

ㄷ. 포물선(parabola) : 원추를 원추의 경사와 평행하게 절단시 생기는 곡선

r² - 4ax = 0

ㅁ. 쌍곡선(hyperbola) : 원추를 z축 방향으로 절단시 생기는 곡선

x²/a² - y² / b² -1 = 0

 

2. 퍼커슨(Ferguson)곡선과 곡면(1960)

ㄱ. 평면상에 곡선뿐만 아니라 3차원 공간에 있는 형상도 간단히 표현할 수 있다.

ㄴ. 곡선이나 곡면의 일부를 표현하려고 할 때는 매개변수의 범위를 가지므로 간단히

표현할 수 있다.

ㄷ. 곡선이나 곡면의 좌표 변환이 필요할 경우 단순히 주어진 벡터만을 좌표변환하여

원하는 결과를 얻을 수 있다

ㅂ. 일반 대수식에 비해 곡선 생성이 쉽긴 하지만, 벡터의 변화에 대해 벡터 중간부의

곡선 형태의 예측하여 원하는 특정 형상을 표현하는 데에 어려움이 있다.

ㅅ. 이런 특징으로 자동차 외관과 같이 곡률 변화율이 중요한 경우에는 곡면의 품질을

저하시킨다.

 

3. 쿤스(Coons)곡면(1964)

4개의 모서리 점과 그 점에서 양방향의 접선 벡터를 주고 3차식을 사용하면 이것은

퍼거슨의 곡면과 동일한 것이다, 즉 퍼거슨 곡면의 쿤스곡면의 특별한 경우가 되는

것으로 곡면 내부의 볼록한 종도를 직접 조절하기가 어려우므로, 정밀한 곡면 표현에

는 적합하지 않다.

 

4. 스플라인(Spline)곡선 

스플라인 곡선은 이웃하는 단위 곡선/ 곡면과의 연결성에 문제가 잇는 퍼거슨 곡선/곡

면이나 쿤스 곡면과 달리, 지정된 모든 점을 통과하면서도 부드럽게 연결되 곡선이다.

 

5. 베지어(Bezier) 곡선과 곡면(1971)

ㄱ. 곡선은 양단의 끝점을 반드시 통과한다.

ㄴ. 곡선은 장점을 통과시킬 수 있는 다각형의 내측에 존재한다(곡면은 다면체)

ㄷ. 다각형의 양끝의 선분은 시작점과 끝점의 접선벡터와 같은 방향이다.

ㄹ. 1개의 정점변화가 곡선전체에 영향을 미친다.

ㅁ. n개의 정점에 의해서 생성된 곡선은 (n-1)차 곡선이다

ㅂ. 다각형의 꼭지 점의 순서를 거꾸로 하여 곡선을 생성하여도 같은 곡선이어야 한

다(대칭성)

 

6. B-spline 곡선과 곡면(1972)

곡선의 연결성(continuity)과 조작성에 그 특징이 있고 꼭지점의 위치를 이동하여 곡선

의 형태를 수정하여도 연결성이 보장되는 것이 특징이다. 또한 베지어 복합곡선은 1

개의 조정점에 의해 곡선이 전역적으로 변경되므로 수정 후 형상파악이 어렵고, 복잡한

형상의 표현에서는 계산량이 많아지나 B-spline은 그럴 필요가 없다

B-spline 곡선의 성질로는 연속성, 다각형에 따른 형상 직관 제공, 지역 유일성, 역변

환의 용이성 등이 있다.

 

7. NURBS(Non-Uniform Rational B-Spline)곡선과 곡면

ㄱ. NURBS의 곡선으로 B-spline, Bezier, 원추곡선도 표현할 수 있다

ㄴ. 4개의 좌표의 조종점 사용으로 곡선의 변형이 자유롭다

ㄷ. NURBS 곡선은 곡선의 양끝점을 반드시 통과해야 한다

 

8. 용도에 따른 곡면 

(1) 심미적곡면

ㄱ. 단면의 기준곡선(base curve)를 따라 이동하는 형태(sweep 형)

ㄴ. 2차 곡면들의 조합으로 구성된 형태

ㄷ. 기준면으로부터 완만하게 부풀어 있는 형태(proportional형 곡면)

ㅁ. 각진 부위를 rounding한 곡면(fillet/round 형 곡면)

 

(2) 유체역학적 곡면

유체의 흐름을 고려한 곡면으로 곡면이 전체적인 방향성을 가진 곡면(Duct형 곡

면, sweep형 곡면)

 

(3) 공학적인 곡면

심미적 곡면과 유체역학적 곡면의 제외한 곡면으로 기능을 수행하는 곡면(광학적

곡면, 기구학적인 곡면)

 

9. 곡면 모델링 방법 

ㄱ. 회전(Revolve)곡면 : 하나의 곡선을 임의의 축이나 요소를 중심으로 회전시켜 모

델링 한 곡면

ㄴ. sweep 곡면 : 두 개 이상의 곡선에서 안내 곡선을 따라 이동곡선이 이동규칙에 따

라 이동하면서 생성되는 곡면

ㄷ. 로프트(Loft)곡면 : 여러 개의 단면곡선이 연결규칙에 따라 연결된 곡면

ㅁ. Patch : 경계곡선의 내부를 형성하는 곡면

ㅂ. Blending 곡면 : 두 곡면이 만나는 부분을 부드럽게 만들 때 생성하는 곡면

ㅅ. Grid 곡면 : 삼차원 측정기 등에서 얻은 점을 근사적으로 연결하는 곡면

ㅇ. 메시(mesh) : 그물처럼 널려 있는 곡선을 가까이 자나는 곡면

ㅈ. 필릿(Fillet) : 두 곡면이 만나는 날카로운 부위를 공이 굴러가는 곡면으로 대치하

여 부드럽게 만드는 곡면

ㅊ. 리메싱(remeshing) :종방향의 배열이 맞지 않는 데이터를 오와 열의 배열이 가지

런한 형태의 곡면 입력점을 새로이 구해니는 절차

ㅋ. 스무딩(smoothing) : 표현된 심한 굴곡면을 평활한 곡면으로 재계산하는 것

ㅌ. 필리팅(filleting) : 연결부위를 일정한 반지름을 갖도록 하는것

 

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